Question

如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛

如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=- 49x2+bx+c经过A、C两点，与AB边交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．
①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值；
②当S最大时，在抛物线y=- 4/9x2+bx+c的对称轴l上若存在点F，使△FDQ为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）把A（0，8），C（6，0）代人抛物线y=-4/9x2+bx+c得，b=4/3，c=8

∴y=-4/9x²+4/3x+8

（2）①∵OC=6，OA=8，∴AC=10

∵AQ=CP=m，∴CQ=10-m

又∵sin∠QCP=sin∠ACB=6/10=0.6

∴△CPQ的面积S=1/2·CQ·CP·sin∠QCP=1/2·m（10-m）·0.6=-0.3m（m-10）=-0.3m²+3m，（0＜m≤8）

当m=（0+10）/2=5时，面积S有最大值-0.3×5（5-10）=7.5；

②当S最大时，m=5，Q恰好在AC中点，∴此时Q（3,4）

令y=-4/9x²+4/3x+8=8，则x=0，3 ∴D（3,8）

∴DQ∥对称轴l：x=3/2

∴在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形（注：分别用P1，P2，P3，P4表示）

当∠FDQ=90°时，F坐标为P1（3/2,8）

当∠FQD=90°时，F坐标为P4（3/2,4）

当∠DFQ=90°时，以DQ为直径作圆交对称轴l于P2、P3，利用相似即可求出坐标为P2（3/2,6+√7/2），P3（3/2,6-√7/2）

即F坐标分别为（3/2,8）（3/2,4）（3/2,6+√7/2）（3/2,6-√7/2）

Answer 2

将点（0，8），（6，0）代入抛物线方程，得：
b=3/4，c=8
所以抛物线方程为y=-4/9x2+4/3x+8

过Q分别作AB与BC的垂线交于E,F
所以EB=6-AE，AE=sin37xm
所以S=1/2x（6-3/5m）m 即S=3m-3/10m2
当在上式方程对称线上S取得最大值
故m=5

设F（3/2，y）且已知D（3，8），Q（3，4）
那么FD2xFQ2=DQ2
算出y就行了
如果算出无解就没有点F，如果有解就存在点F

追问

不明白、能帮我解释解释吗？

追答

哪里不明白

追问

第三问！

追答

因为知道S为最大值 通过抛物线方程可以得到点D、Q的坐标
且点F的横坐标知道
而且△FDQ是直角三角形
所以满足两直角边分别的平方等于斜边的平方
现在已知两点坐标和一个点的横坐标
所以两点之间的距离可以算出来
根据上面公式就可以算出y