Question

如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点左、右侧），描述补充。

如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点左、右侧），与y轴正半轴交于点COA:OB:OC=1:4:4，△ABC的面积为20。（1）求A、B、C、三点的坐标（2）求抛物线的解析式（3）若以抛物线上一点P为圆心的圆恰好与直线BC相切于点C，求点P的坐标 （抛物线开口向下，AB在x轴，C在y轴）

Answer 1

1、
设A坐标为(x1,0)B坐标为(x2,0)，则C坐标为（0，c）(x1<0,x2>0,c>0)
由题意可知，
-4x1=x2=c
(-x1+x2)*c/2=20
x1=-2,x2=8,c=8
则A为（-2,0）B为（8,0）C为（0,8）
2、代入三点。可得抛物线解析式：y=-x²/2+3x+8
3、由题意可知，PC⊥BC,且C在直线PC上。
则直线PC为：y=x+8
解方程组
y=x+8
y=-x²/2+3x+8
x=0,y=8或x=4，y=12
所以P坐标为（0,8）或（4,12）

Answer 2

解：（1）由题意可知：抛物线的对称轴为x=1．
当x=1时，y=3x-7=-4，因此抛物线的顶点M的坐标为（1，-4）．
当x=4时，y=3x-7=5，因此直线y=3x-7与抛物线的另一交点为（4，5）．
设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-4，
则有：a（4-1）2-4=5，a=1．
∴抛物线的解析式为：y=x2-2x-3．

（2）根据（1）的抛物线可知：A（-1，0）B（3，0）C（0，-3）；
易知直线BM的解析式为y=2x-6；
当x=t时，y=2t-6；
因此PQ=6-2t；
∴S四边形PQAC=S梯形QPCO+S△AOC=12×（3+6-2t）×t+12×3
即：S四边形PQAC=-t2+92t+32（1＜t＜3）．

（3）假设存在这样的点N，使△NMC为等腰三角形．
∵点N在BM上，不妨设N点坐标为（m，2m-6），
则CM2=12+12=2，CN2=m2+[3-（6-2m）]2，或CN2=m2+[（6-2m）-3]2．
MN2=（m-1）2+[4-（6-2m）]2．
△NMC为等腰三角形，有以下三种可能：
①若CN=CM，则m2+[（6-2m）-3]2=2，
∴m1=75，m2=1（舍去）．
∴N（75，-165）．
②若MC=MN，则（m-1）2+[4-（6-2m）]2=12+12．
∴m=1±105．
∵1＜m＜3，
∴m=1-105舍去．
∴N（1+105，2
105-4）．
③若NC=NM，则m2+[3-（6-2m）]2=（m-1）2+[4-（6-2m）]2．
解得m=2．
∴N（2，-2）．
故假设成立．
综上所述，存在这样的点N，使△NMC为等腰三角形．且点N的坐标分别为：
N1（75，-165），N2（1+105，2
105-4），N3（2，-2）．