Question

已知函数f(x)＝ln x－ ．(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)f(x)在[1，e]上的最小值为 ，

已知函数f(x)＝ln x－ ．(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)f(x)在[1，e]上的最小值为 ，求实数a的值；(3)试求实数a的取值范围，使得在区间(1，＋∞)上函数y＝x 2 的图象恒在函数y＝f(x)图象的上方．

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Answer 1

（1）f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数 （2）a＝－     （3）a≥－1

(1)f′(x)＝ ＋ ＝ (x>0)， 当a>0时，f′(x)>0恒成立， 故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数． (2)由f′(x)＝0得x＝－a， ①当a≥－1时，f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上为增函数． f(x) min ＝f(1)＝－a＝ 得a＝－ (舍)． ②当a≤－e时，f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上为减函数． 则f(x) min ＝f(e)＝1－ ＝ 得a＝－ (舍)． ③当－e<a<－1时，由f′(x)＝0得x 0 ＝－a． 当1<x<x 0 时，f′(x)<0，f(x)在(1，x 0 )上为减函数； 当x 0 <x<e时，f′(x)>0，f(x)在(x 0 ，e)上为增函数． ∴f(x) min ＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝ ，得a＝－ ． 综上知：a＝－ ． (3)由题意得：x 2 >ln x－ 在(1，＋∞)上恒成立， 即a>xln x－x 3 在(1，＋∞)上恒成立． 设g(x)＝xln x－x 3 (x>1)，则 g′(x)＝ln x－3x 2 ＋1． 令h(x)＝ln x－3x 2 ＋1，则 h′(x)＝ －6x． 当x>1时，h′(x)<0恒成立． ∴h(x)＝g′(x)＝ln x－3x 2 ＋1在(1，＋∞)上为减函数， 则g′(x)<g′(1)＝－2<0． 所以g(x)在(1，＋∞)上为减函数， ∴g(x)<g(1)<－1，故a≥－1