Question

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N。 （1）当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），求证：BM+DN=MN；（2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），则线段BM，DN和MN之间数量关系是______；（3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的的数量关系呢？并对你的猜想加以说明。

Answer 1

解：（1）证明：如图，延长CB至E使得BE=DN，易证△ABE≌△ADN ∴∠BAE=∠DAN，AE=AN ∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90° ∵∠MAN=45° ∴∠EAM=∠MAN ∵AM是公共边 ∴△ABE≌△AND ∴ME=MN 即BM+BE=MN ∴BM+DN=MN。

（2）BM+DN=MN；

（3）DN-BM=MN 如图，在DC上截取DE=BM，易证△ADE≌△ABM ∴∠DAE=∠BAM，AE=AM ∴∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90° ∵∠MAN=45° ∴∠EAN=∠MAN ∵AN是公共边 ∴△MAN≌△EAN ∴EN=MN 即DN-DE=MN ∴DN-BM=MN。 。