Question

已知函数f（x）=lnx+ax 2 +bx（1）若曲线y=f（x），在点（1，f（1））处的切线与圆x 2 +y 2 =1相切，求b

已知函数f（x）=lnx+ax 2 +bx（1）若曲线y=f（x），在点（1，f（1））处的切线与圆x 2 +y 2 =1相切，求b取值范围；（2）若2a+b+1=0，讨论函数的单调性；（3）证明：2+ 3 2 2 + 4 3 2 +… n+1 n 2 ＞1n（n+1）（n∈N * ）

Answer 1

（1）∵ f ′ (x)= 1 x +2ax+b(x＞0) ，∴f′（1）=1+2a+b， 其切线方程为y-（a+b）=（1+2a+b）（x-1），即（1+2a+b）x-y-1-a=0． 由切线与圆x 2 +y 2 =1相切可得 |1+a| (1+2a+b ) 2 +1 =1 化为3a 2 +（2+4b）a+b 2 +2b+1=0，此方程有解，∴△=（2+4b） 2 -12（b 2 +2b+1）≥0，解得 b≥1+ 3 或 b≤1- 3 ． （2）∵2a+b+1=0，∴2a=-1-b，∴ f ′ (x)= 1 x -(1+b)x+b = -[(1+b)x+1](x-1) x （x＞0）． ①b=-1时， f ′ (x)= -(x-1) x ，由f′（x）＞0解得0＜x＜1，函数f（x）单调递增；由f′（x）＜0，解得x＞1，函数f（x）单调递减． ②当-2＜b＜-1时， -1 1+b ＞1 ，由f′（x）＞0解得1＜x＜ -1 1+b ，函数f（x）单调递增； 由f′（x）＜0，解得x＞ -1 1+b 或0＜x＜1，函数f（x）单调递减． ③当b＜-2时， 0＜ -1 1+b ＜1 ，由f′（x）＞0解得 -1 1+b ＜x＜1，函数f（x）单调递增； 由f′（x）＜0，解得x＞1或 0＜x＜- 1 1+b ，函数f（x）单调递减． ④当b＞-1时， -1 1+b ＜0 ，由f′（x）＞0解得0＜x＜1，函数f（x）单调递增； 由f′（x）＜0，解得x＞1，函数f（x）单调递减． （3）由（2）可知：当b=1时，当x＞1时，函数f（x）单调递减． ∴f（x）＜f（1），即lnx-x 2 +x＜0，令 x=1+ 1 n ，可得 ln(n+1)-lnn＜ n+1 n 2 ． ∴ln（n+1）=[ln（n+1）-lnn]+[lnn-ln（n-1）]+…+[ln2-ln1]+ln1 ＜ n+1 n 2 + n (n-1 ) 2 + …+ 2 1 +0 ， 即 2+ 3 2 2 + 4 3 2 + …+ n+1 n 2 ＞ln(n+1) ．