Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E，G，F分别为MB，PB，PC的中点，且A

在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E，G，F分别为MB，PB，PC的中点，且AD=PD=2MA。 （1）求证：平面EFG⊥平面PDC；（2）求三棱锥P-MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比。

Answer 1

解：（1）证明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA， 所以PD⊥平面ABCD 又BC 平面ABCD， 所以PD⊥BC 因为四边形ABCD为正方形， 所以BC⊥DC 又PD∩DC=D， 因此BC⊥平面PDC 在△PBC中，因为C，F分别为PB，PC的中点， 所以GF∥BC， 因此GF⊥平面PDC 又GF 平面EFG， 所以平面EFC⊥平面PDC。 （2）因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形， 不妨设MA=1，则PD=AD=2 所以 S 正方形ABCD ·PD= 由于DA⊥面MAB，且PD∥MA， 所以DA即为点P到平面MAB的距离， 三棱锥V P-MAB = 所以V P-MAB ：V P-ABCD =1：4。