Question

如图，对称轴为直线x= 的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点

如图，对称轴为直线x= 的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的基础上试探索：①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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Answer 1

解：（1）因为抛物线的对称轴是x= ， 设解析式为y=a（x﹣ ） 2 +k． 把A，B两点坐标代入上式，得 ， 解得a= ，k=﹣ ． 故抛物线解析式为y= （x﹣ ） 2 ﹣ ，顶点为（ ，﹣ ）； （2）∵点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y= （x﹣ ） 2 = ， ∴y＜0，即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离． ∵OA是OEAF的对角线， ∴S=2S △OAE =2× ×OA·|y|=﹣6y=﹣4（x﹣ ） 2 +25． ∵抛物线与x轴的两个交点是（1，0）和（6，0）， ∴自变量x的取值范围是1＜x＜6； （3）①根据题意，当S=24时，即﹣4（x﹣ ） 2 +25=24． 化简，得（x﹣ ） 2 = ． 解得x 1 =3，x 2 =4． 故所求的点E有两个， 分别为E 1 （3，﹣4），E 2 （4，﹣4）， 点E 1 （3，﹣4）满足OE=AE， 所以平行四边形OEAF是菱形； 点E 2 （4，﹣4）不满足OE=AE， 所以平行四边形OEAF不是菱形； ②当OA⊥EF，且OA=EF时， 平行四边形OEAF是正方形， 此时点E的坐标只能是（3，﹣3）， 而坐标为（3，﹣3）的点不在抛物线上， 故不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形．