Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面为直角梯形，∠BAD=90°，BC ∥ AD，且PA=AB=BC=1，AD=2．（

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面为直角梯形，∠BAD=90°，BC ∥ AD，且PA=AB=BC=1，AD=2．（Ⅰ）设M为PD的中点，求证：CM ∥ 平面PAB；（Ⅱ）求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值．

Answer 1

解法一：（Ⅰ）证明：取PA的中点N，连接BN、NM，在△PAD中，MN ∥ AD，且 MN= 1 2 AD=1 ； 又BC ∥ AD，且 BC= 1 2 AD=1 ，所以MN ∥ = BC，即四边形BCMN为平行四边形，CM ∥ BN． 又CM?平面PAB，BN?平面PAB，故CM ∥ 平面PAB．…（5分） （Ⅱ）在平面ABCD中，AB与CD不平行，延长AB、CD交于一点，设为E， 连接PE，则PE为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的棱，又由题设可知DA⊥侧面PAB，于是过A作AF⊥PE于F， 连接DF，由三垂线定理可知∠AFD为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角．…（8分） 在△EAD中，由BC ∥ AD， BC= 1 2 AD ，知B为AE为中点，∴AE=2， 在Rt△PAE中，PA=1，AE=2，∴ PE= 5 ， AF= 2 5 ．故 tan∠AFD= 2 2 5 = 5 ， 即所求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值为 5 ．…（12分） 解法二：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角 坐标系，则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）．…（2分） （Ⅰ）由M为PD中点知M的坐标为（0，1，1），所以 CM =(-1，0，1) ， 又平面PAB的法向量可取为 m =(0，1，0) ，∴ CM ? m =0 ，即 CM ⊥ m ． 又CM?平面PAB，所以CM ∥ 平面PAB．…（6分） （Ⅱ）设平面PCD的法向量为 n =( x 1 ， y 1 ， z 1 ) ． ∵ PC =(1，1，-1) ，   PD =(0，2，-1) ，∴ PC ? n = x 1 + y 1 - z 1 =0 PD ? n =2 y 1 - z 1 =0. 不妨取z 1 =2，则y 1 =1，x 1 =1．∴ n =(1，1，2) ． 又平面PAB的法向量为 m =(0，1，0) ． 设侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角大小为θ， 则由 m ， n 的方向可知 cosθ= kjf_x 2018-05-15 · 知道合伙人教育行家 kjf_x 知道合伙人教育行家 采纳数：2570 获赞数：7482 2001年上海市"天映杯"中学多媒体课件大奖赛3名一等奖中本人获得两个 向TA提问 私信TA 关注 1 取AD的中点N，连接MN、CN 易知ABCN是正方形，CN//AD 由中位线定理，MN//PA 所以平面CMN//平面PAB 所以，CM//平面PAB 2 侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角=平面CMN与侧面PCD所成二面角的平面角 PA⊥底面ABCD，MN//PA MN⊥底面ABCD，MN⊥AD 又CN⊥AD，所以AD⊥平面CMN 三角形CDM在平面CMN的射影是三角形CMN， 所以cosα=三角形CMN面积/三角形CDM面积， =2*三角形CMN面积/三角形PCD面积 =（1/2）/（√6/2）=1/√6 tanα=√30/6 13813657562 2018-05-15 · TA获得超过15.2万个赞 知道大有可为答主 回答量：5.3万 采纳率：79% 帮助的人：1.1亿 我也去答题访问个人页 关注 两种解法 sumeragi693 高粉答主 2018-05-15 · 说的都是干货，快来关注 知道大有可为答主 回答量：3.8万 采纳率：79% 帮助的人：1.7亿 我也去答题访问个人页 关注 (1)取PA中点N,连接MN,则MN∥=AD/2∥=BC ∴四边形MNBC是平行四边形,∴BN∥CM ∵BN⊂面PAB,∴CM∥面PAB (2)延长AB,DC交於E,连接PE,则PE是面PAB与面PCD的交线 过A作AH⊥PE于H,连接DH ∵PA⊥面ABCD,∴DA⊥PA ∵DA⊥AB,∴DA⊥面PAB,∴DH在面PAB上的射影为AH 由三垂线定理得DH⊥PE,∴∠AHD是所求二面角的平面角 易证AE=2,PE=√5,面积法得AH=2/√5 ∴tan∠AHD=AD/AH=√5/2 匿名用户 2018-05-15 仅供参考： 12下一页> 收起 更多回答（6） 推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询 其他类似问题 2016-08-06 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=1，BC=2． 1 2016-12-01 如图，四棱锥P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD.底面ABCD为直角梯形，AD‖BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3.点E在棱P 26 2011-02-15 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中AD‖BC，∠ABC=90° ，PA⊥面ABC，PA=4，AD=2，AB=2√3，BC=6 27 2018-03-26 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，且CD=2AB．（1）若AB=AD=a， 9 2011-07-26 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中AD‖BC，∠ABC=90° ，PA⊥面ABC，PA=4，AD=2，AB=2√3，BC=6. 22 2012-11-14 如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD平行BC，AB=AD=PB=3,点E在棱PA上， 7 2015-01-17 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠CDA=∠DAB=90°，PD⊥底面ABCD，PD=AD，CD=1，AB=2，E是 2 2013-01-23 如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3 6 更多类似问题 > 为你推荐： 特别推荐 “网络厕所”会造成什么影响？ 癌症的治疗费用为何越来越高？ 新生报道需要注意什么？ 华强北的二手手机是否靠谱？ 百度律临—免费法律服务推荐 超3w专业律师，24H在线服务，平均3分钟回复 免费预约 随时在线 律师指导 专业律师 一对一沟通 完美完成 等你来答 换一换 帮助更多人 下载百度知道APP，抢鲜体验 使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。 扫描二维码下载 × 个人、企业类侵权投诉 违法有害信息,请在下方选择后提交 类别 色情低俗 涉嫌违法犯罪 时政信息不实 垃圾广告 低质灌水 我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交 取消 领取奖励 我的财富值 0 兑换商品 -- 去登录 我的现金 0 提现 下载百度知道APP 在APP端-任务中心提现 我知道了 -- 去登录 做任务开宝箱 累计完成 0 个任务 10任务 略略略略… 50任务 略略略略… 100任务 略略略略… 200任务 略略略略… 任务列表加载中... 新手帮助 如何答题 获取采纳 使用财富值 玩法介绍 知道商城 合伙人认证 您的账号状态正常 感谢您对我们的支持 投诉建议 意见反馈 账号申诉 非法信息举报 京ICP证030173号-1   京网文【2023】1034-029号     ©2024Baidu  使用百度前必读 | 知道协议 | 企业推广 辅 助 模 式

Answer 2

1
取AD的中点N，连接MN、CN
易知ABCN是正方形，CN//AD
由中位线定理，MN//PA
所以平面CMN//平面PAB
所以，CM//平面PAB
2
侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角=平面CMN与侧面PCD所成二面角的平面角
PA⊥底面ABCD，MN//PA
MN⊥底面ABCD，MN⊥AD
又CN⊥AD，所以AD⊥平面CMN
三角形CDM在平面CMN的射影是三角形CMN，
所以cosα=三角形CMN面积/三角形CDM面积，
=2*三角形CMN面积/三角形PCD面积
=（1/2）/（√6/2）=1/√6
tanα=√30/6

Answer 3

两种解法

Answer 4

(1)取PA中点N,连接MN,则MN∥=AD/2∥=BC
∴四边形MNBC是平行四边形,∴BN∥CM
∵BN⊂面PAB,∴CM∥面PAB
(2)延长AB,DC交於E,连接PE,则PE是面PAB与面PCD的交线
过A作AH⊥PE于H,连接DH

∵PA⊥面ABCD,∴DA⊥PA

∵DA⊥AB,∴DA⊥面PAB,∴DH在面PAB上的射影为AH
由三垂线定理得DH⊥PE,∴∠AHD是所求二面角的平面角
易证AE=2,PE=√5,面积法得AH=2/√5

∴tan∠AHD=AD/AH=√5/2

Answer 5

仅供参考：