Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面为直角梯形，∠BAD=90°，BC ∥ AD，且PA=AB=BC=1，AD=2．（

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面为直角梯形，∠BAD=90°，BC ∥ AD，且PA=AB=BC=1，AD=2．（Ⅰ）设M为PD的中点，求证：CM ∥ 平面PAB；（Ⅱ）求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值．

Answer 1

1
取AD的中点N，连接MN、CN
易知ABCN是正方形，CN//AD
由中位线定理，MN//PA
所以平面CMN//平面PAB
所以，CM//平面PAB
2
侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角=平面CMN与侧面PCD所成二面角的平面角
PA⊥底面ABCD，MN//PA
MN⊥底面ABCD，MN⊥AD
又CN⊥AD，所以AD⊥平面CMN
三角形CDM在平面CMN的射影是三角形CMN，
所以cosα=三角形CMN面积/三角形CDM面积，
=2*三角形CMN面积/三角形PCD面积
=（1/2）/（√6/2）=1/√6
tanα=√30/6

Answer 2

(1)取PA中点N,连接MN,则MN∥=AD/2∥=BC
∴四边形MNBC是平行四边形,∴BN∥CM
∵BN⊂面PAB,∴CM∥面PAB
(2)延长AB,DC交於E,连接PE,则PE是面PAB与面PCD的交线
过A作AH⊥PE于H,连接DH

∵PA⊥面ABCD,∴DA⊥PA

∵DA⊥AB,∴DA⊥面PAB,∴DH在面PAB上的射影为AH
由三垂线定理得DH⊥PE,∴∠AHD是所求二面角的平面角
易证AE=2,PE=√5,面积法得AH=2/√5

∴tan∠AHD=AD/AH=√5/2

Answer 3

如图

Answer 4

两种解法

Answer 5