Question

两个反比例函数 y= k x 和 y= 1 x 在第一象限内的图象如图所示，点P在 y= k x

两个反比例函数 y= k x 和 y= 1 x 在第一象限内的图象如图所示，点P在 y= k x 的图象上，PC⊥x轴于点C，交 y= 1 x 的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交 y= 1 x 的图象于点B，当点P在 y= k x 的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是______．

Answer 1

（1）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），则有x 1 y 1 =x 2 y 2 =1， ∵S △ODB = 1 2 ×BD×OD= 1 2 x 2 y 2 = 1 2 ，S △OCA = 1 2 ×OC×AC= 1 2 x 1 y 1 = 1 2 ，故①正确； （2）由已知，得P（x 1 ，y 2 ）， ∵P点在 y= k x 的图象上， ∴S 矩形OCPD =OC×PD=x 1 y 2 =k， ∴S 四边形PAOB =S 矩形OCPD -S △ODB -S △OCA =k- 1 2 - 1 2 =k-1，故②正确； （3）由已知得x 1 y 2 =k，即x 1 ? 1 x 2 =k， ∴x 1 =kx 2 ， 根据题意，得PA=y 2 -y 1 = 1 x 2 - 1 x 1 = k-1 k x 2 ，PB=x 1 -x 2 ，=（k-1）x 2 ，故③错误； （4）当点A是PC的中点时，y 2 =2y 1 ， 代入x 1 y 2 =k中，得2x 1 y 1 =k， ∴k=2， 代入x 1 =kx 2 中，得x 1 =2x 2 ，故④正确． 故本题答案为：①②④．