等腰直角三角形ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动
等腰直角三角形ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ...
等腰直角三角形ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于D．（1）当点P运动几秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积？（2）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．
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（1）∵s△ABC=
AB?BC＝50（1分），
设P运动的时间为t秒．
①当t＜10秒时，P在线段AB上，
如图1，此时CQ=t，PB=10-t
∴s△PCQ＝
×t×(10?t)＝
(10t?t2)＝50（2分）
整理得t2-10t+100=0无解（3分）
②当t＞10秒时，P在线段AB的延长线上，
如图2，此时CQ=t，PB=t-10
∴s△PCQ＝
×t×(t?10)＝
(t2?10t)＝50（3分）
整理得t2-10t-100=0
解得t＝5±5
（舍去负值）（5分）
∴当点P运动（5+5
）秒时，s△PCQ=s△ABC（5分）（得分同上）
（2）当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变．
证明如下：（（6分），评分细则见后注）
①当t＜10秒时，P在线段AB上，如图1，
过Q作QF⊥AC，交直线AC于点F
在Rt△APE和Rt△QCF中
∵∠A=45°，∠QCF=∠ACB=45°
AP=QC=t
∴△APE≌△QCF∴AE=PE=CF=QF=
t（7分）
∴四边形PEQF是平行四边形，且DE是对角线EF的一半
又∵EF=AC=10
∴DE=5
（8分）
②当t＞10秒时，P在线段AB的延长线上，如图2，
作PE⊥AC，交直线AC于点E，过Q作QF⊥AC，交直线AC于点F．
同理可得DE=5
| 1 |
| 2 |
设P运动的时间为t秒．
①当t＜10秒时，P在线段AB上，
如图1，此时CQ=t，PB=10-t
∴s△PCQ＝
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| 1 |
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整理得t2-10t+100=0无解（3分）
②当t＞10秒时，P在线段AB的延长线上，
如图2，此时CQ=t，PB=t-10
∴s△PCQ＝
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整理得t2-10t-100=0
解得t＝5±5
| 5 |
∴当点P运动（5+5
| 5 |
（2）当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变．
证明如下：（（6分），评分细则见后注）
①当t＜10秒时，P在线段AB上，如图1，
过Q作QF⊥AC，交直线AC于点F
在Rt△APE和Rt△QCF中
∵∠A=45°，∠QCF=∠ACB=45°
AP=QC=t
∴△APE≌△QCF∴AE=PE=CF=QF=
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∴四边形PEQF是平行四边形，且DE是对角线EF的一半
又∵EF=AC=10
| 2 |
| 2 |
②当t＞10秒时，P在线段AB的延长线上，如图2，
作PE⊥AC，交直线AC于点E，过Q作QF⊥AC，交直线AC于点F．
同理可得DE=5
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解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10-t∴s＝12×t×(10?t)＝12(10t?t2)当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t-10∴s＝12×t×(t?10)＝12(t2?10t)（4分）（2）∵S△ABC=12AB?BC＝50（5分）∴当t＜10秒时，S△PCQ=12(10t?t2)＝
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