Question

设方程x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4+9=0．（1）当且仅当m在什么范围内，该方程表示一个圆；（2）当m

设方程x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4+9=0．（1）当且仅当m在什么范围内，该方程表示一个圆；（2）当m在以上范围内变化时，求半径最大的圆的方程．

Answer 1

（1）由方程x²+y²-2（m+3）x+2（1-4m²）y+16m⁴+9=0
变形得：[x-（m+3）]²+[y+（1-4m²）]²=-7m²+6m+1，要使方程表示圆，
则需要-7m²+6m+1＞0；如果-7m²+6m+1＞0，则得到方程表示圆；
所以当且仅当-7m²+6m+1＞0即-

1

7

＜m＜1时，该方程表示一个圆；
（2）在-

1

7

＜m＜1时，设r²=-7m²+6m+1，为开口向下的抛物线，
当m=

3

7

时，r²最大为

16

7

．
所以圆的方程为(x?

24

7

)2+(y+

13

49

)2=

16

7

．