Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，n?an+1=Sn+n（n+1），（1）证明数列{an}为等差数列，并求其通项公式

已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，n?an+1=Sn+n（n+1），（1）证明数列{an}为等差数列，并求其通项公式；（2）令Tn=Sn2n，①当n为何正整数值时，Tn＞Tn+1：②若对一切正整数n，总有Tn≤m，求m的取值范围．

Answer 1

解答：（1）证明：令n=1时，1?a₂=S₁+1?2，即a₂-a₁=2，
∵n?a_n+1=S_n+n（n+1），
∴n≥2时，（n-1）?a_n=S_n-1+n（n-1），
两式相减整理得：a_n+1-a_n=2，
∵a₁=2，
∴数列{a_n}为首项为2，公差为2的等差数列，
∴a_n=2n；
（2）解：①T_n=

Sn

2n

=

n(n+1)

2n

＞T_n+1=

(n+1)(n+2)

2n+1

，
∴n＞2；
②∵T₁=1，T₂=T₃=

3

2

，T_n＞T_n+1，
∴各项中数值最大为

3

2

，
∵对一切正整数n，总有T_n≤m，
∴m≥

3

2

．