Question

已知函数f（x）=lnx+x2．（1）若函数g（x）=f（x）-ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）在（

已知函数f（x）=lnx+x2．（1）若函数g（x）=f（x）-ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，且a＞1，h（x）=e3x-3aex，x∈[0，ln2]，求h（x）的极小值．

Answer 1

（1）∵g（x）=f（x）-ax=lnx+x²-ax，定义域：（0，+∞）
∴g'（x）=

1

x

+2x?a 
∵函数g（x）=f（x）-ax在定义域内为增函数，g'（x）=

1

x

+2x?a≥0在（0，+∞）恒成立，
即a≤

1

x

+2x在（0，+∞）恒成立，
令t（x）=

1

x

+2x，只需a≤t（x）_最小值即可，
∵x＞0，∴

1

x

+2x≥2

1 x ?2x

＝2

2

当且仅当

1

x

=2x，x＝

2

2

时上式取等号，∴t（x）_最小值=2

2

，
∴a≤2

2

．
（2）由（1）以及条件得：1＜a≤2

2

，
∵h（x）=e^3x-3ae^x，
∴h'（x）=3e^3x-3ae^x=3e^x（e^2x-a），
令h'（x）=0得e^2x=a，∴x＝

1

2

lna，
∵1＜a≤2

2

，∴
lna≤ln2

2

，∴

1

2

lna≤

1

2

ln2

2

=

3

4

ln2，∴

1

2

lna∈[0，ln2]，
当0≤x＜

1

2

lna时，2x＜lna，∴e^2x＜e^lna=a，∴e^2x-a＜0，∴h'（x）＜0，∴h（x）在[0，

1

2

lna]上递减；
当x＞

1

2

lna时，2x＞lna，∴e^2x＞e^lna=a，∴e^2x-a＞0，∴h'（x）＞0，∴h（x）在[

1

2

lna，ln2]上递增；
∴当x＝

1

2

lna时，函数h（x）取极小值，
∴h(x)极小值＝h(

1

2

lna)=(e)3?

1

2

lna-3a(e)

1

2

lna=(a)

3

2

-3a?(a)

1

2

=?2(a)

3

2

．