Question

已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上以每秒1个单

已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上以每秒1个单位的速度由C向B运动． (1) 求梯形ODPC的面积S与时间t的函数关系式；(2) 在线段PB上是否存在一点Q，使得ODQP为菱形．若存在求t值；若不存在，说明理由；(3) 当△OPD为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．

Answer 1

（1） （2）在线段PB上存在一点Q，使得四边形ODQP为菱形，此时 ；（3）P1(3，4)   P2(2.5，4)   P3(2，4)   P4(8，4)

试题分析：解：(1) ∵A(10，0)，C(0，4) ∴OA=10，OC=4 ∵点D是OA的中点 ∴OD=5 ∴                       (2) 假设在线段PB上存在一点Q，使得四边形ODQP为菱形（如图） 连结OP、DQ ∵四边形ODQP为菱形 ∴OP=OD=5 ∵∠OCB=90° ∴OC2+PC2=OP2 ∴PC= ∴ 此时，PB= ∴在线段PB上存在一点Q，使得四边形ODQP为菱形，此时      (3) 当△OPD为等腰三角形时，有以下几种情况： P1(3，4)   P2(2.5，4)   P3(2，4)   P4(8，4)               点评：本题难度系数中等，综合考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理的运用．