Question

．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB (1)求证：AC是△B

．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB (1)求证：AC是△BDE的外接圆的切线；(2)若AD=6，AE=6 ，求BC的长。

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Answer 1

(1) 见解析；(2) BC=4。

本题主要考查了切线的判定定理的应用，直角三角形基本关系的应用，属于基本知识的简单综合． （Ⅰ）要证明AC是△BDE的外接圆的切线，故考虑取BD的中点O，只要证明OE⊥AC，结合∠C=90°，证明BC∥OE即可 （Ⅱ）设⊙O的半径为r，则在△AOE中，由OA 2 =OE 2 +AE 2 ，可求r，代入可得OA，2OE，Rt△AOE中，可求∠A，∠AOE，进而可求∠CBE=∠OBE，在BCE中，通过EC与BE的关系可求 解：(1)取BD的中点O，连结OE ∵DE⊥EB ∴DB是△BED的外接圆的直径， ∴OE是⊙O的半径 ∴BE平分∠ABC ∴∠ABE=∠EBC ∵OE=OB ∴∠ABE=∠DEO ∴∠DEO=∠EBC，∴EO∥BC ∵∠C=90º，∴∠AEO=90º  ∴AC是⊙O的切线……….6分 (2)由(1)得：AE 2 =AD?AB ∴(6 ) 2 =6?AB，AB=12，∴OE=OD=3，AO=9 ∵EO∥BC，∴ ，即 ，∴BC=4………12分