Question

设△ABC的三个内角A.B.C所对的边分别为a.b.c.已知sin（A－π/6）＝cosA ①求角...

设△ABC的三个内角A.B.C所对的边分别为a.b.c.已知sin（A－π/6）＝cosA
①求角A的大小
②若a＝2.求b+c的最大值

Answer 1

1、由sin(A-π/6)＝cosA得
sinAcos(π/6)-cosAsin(π/6)=cosA
(√3/2)sinA-(1/2)cosA=cosA
整理得
sinA/cosA=tanA=√3，所以A=π/3。
2、由正弦定理得
sinA/a=sinB/b=sinC/c=(√3/2)/2=√3/4
则b=(4/√3)sinB，c=(4/√3)sinC
所以
b+c=(4/√3)(sinB+sinC)
根据和差化积公式
sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
则
sinB+sinC=2sin[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]
=2sin[(π-A)/2]cos[(B-C)/2]
=√3cos[(B-C)/2]
所以
b+c=(4/√3)(sinB+sinC)
=4cos[(B-C)/2]
可见，b+c的最大值为4，此时cos[(B-C)/2]=1，即B=C=π/3。