Question

在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-2,0 ），点B（0,2），点E,F分别为OA,OB的中点

在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-2,0 ），点B（0,2），点E,F分别为OA,OB的中点 ，若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方 形OE'D'F',
若直线AE'与直线BF'相交于点P，求点P的 纵坐标的最大值
证明:当E旋转时，恰好在直线AE’与以点O为圆 心OE'为半径的圆相切时，交点P的纵坐标最 大，即在第一象限内，当点D′与点P重合时， 点P的纵坐标最大．
为什么它相切值就最大

Answer 1

【题目】

在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．

（Ⅰ）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；
（Ⅱ）如图②，当α=135°时，求证AE′=BF′，且AE′⊥BF′；
（Ⅲ）若直线AE′与直线BF′相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）．

【解答方法】

一、分析

（1）利用勾股定理即可求出AE′，BF′的长．

（2）运用全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质就可解决问题．

（3）首先找到使点P的纵坐标最大时点P的位置（点P与点D′重合时），然后运用勾股定理及30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识即可求出点P的纵坐标的最大值．

解：（Ⅰ）当α=90°时，点E′与点F重合，如图①．
∵点A（-2，0）点B（0，2），
∴OA=OB=2．
∵点E，点F分别为OA，OB的中点，
∴OE=OF=1
∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF绕点O顺时针旋转90°得到的，
∴OE′=OE=1，OF′=OF=1．
在Rt△AE′O中，

（Ⅱ）当α=135°时，如图②．
∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF绕点O顺时针旋转135°所得，
∴∠AOE′=∠BOF′=135°．
在△AOE′和△BOF′中，

（Ⅲ）在第一象限内，当点D′与点P重合时，点P的纵坐标最大．
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，如图③所示．
∵∠AE′O=90°，E′O=1，AO=2，

Answer 2

第一问，距离公式答案为根号5
第二问思路旋转型全等（SAS）aoe‘与bof‘全等，后有蝶形即可证
第三问以o为圆心1为半径作圆，当ae'与圆相切时最大，数形结合。

Answer 3

（1）很容易，硬算，答案是根号5
（2）用边角边（SAS）证明AE'O和BF'O全等，从而证明两个结果
（3）1.2

Answer 4

1. AE=BF=√（2²+1）=√5

2. ∵AO=BO，OE'=OF',∠AOE'= ∠BOF'

   ∴△AOE'≌△BOF'

   ∠OAE'= ∠OBF'

   设AE'与BF'交于P

   ∠OAE'+ ∠OPA= ∠OBF'+∠BPE'=90°

   ∴ AE'垂直于BF'

3. 1
   

Answer 5

追问

你是来骗分的吗，我看过这个。我问的是为什么PD重合它值最大

追答

P点纵坐标要最大，也就是直线AE的倾斜程度要最大。
点E是绕着O为圆心，半径为1的圆旋转，那要使AE倾斜程度最大，也就是AE是圆切线的时候，即EO垂直AE，可以发现D点和P点是相重合的。