Question

1^3+2^3+3^3+……+(n-1)^3+n^3=?

过程？

Answer 1

1⁴= 1
2⁴=1⁴+4*1³+6*1²+4*1+1
3⁴=2⁴+4*2³+6*2²+4*2+1
……
n⁴=(n-1)⁴+4*(n-1)³+6*(n-1)²+4*(n-1)+1
(n+1)⁴=n⁴+4*n³+6*n²+4*n+1
可以看出，全部相加后除最后一行外等号左边都与下一行等号右边第一项抵消。得到
(n+1)⁴=4(1³+2³+3³+…+n³)+6(1²+2²+3²+…+n²)+4(1+2+3+…+n)+(1+1+1…+1)+1
我们知道：1+2+3+…+n=n(n+1)/2
1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6
令s3=1³+2³+3³+…+n³则
(n+1)⁴=4s3+6[n(n+1)(2n+1)/6]+4[n(n+1)/2]+n+1
(n+1)⁴=4s3+n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+n+1
......
最后得到s3=[n(n+1)/2]²