Question

数学数列题

1，1，2，3，5，8，13…由此下去，第二十个是多少？并写出相关的关系式？ 前面20个数相加是多少？

Answer 1

这个数列是斐波那契数列。通项公式是比内公式——[（1＋√5）/2]^n /√5 － [（1－√5）/2]^n /√5
它的证明如下：
记第n个数为F{n}，则F1=1，F2=1，且F{n+2}=F{n+1}+F{n}——（×）
在（×）式中两边同加上k×F{n+1}得F{n+2}+kF{n+1}=（1+k）F{n+1}+F{n}——①
由于k可以是任意实数，因此k可以取一个特殊的值，使①式化为等比数列的递推公式
即F{n+2}+kF{n+1}=（1+k）×【F{n+1}+kF{n}】——②
因此F{n+2}+kF{n+1}=（1+k）^n×【F2+kF1】——③
现在来求k。对比①，②式，只有F{n}的系数不同
所以1=（1+k）×k，解得k1=½（﹣1+√5），k2=½（﹣1-√5）
代入③式可得两个式子，将它们相加减，并化简，即可得比内公式。

至于前n项和，可写出以下等式
F{n+2}=F{n+1}+F{n}
F{n+1}=F{n}+F{n-1}
F{n}=……
……
F3=F2+F1
两边求和，并消去相同的项得F{n+2}=F2+前n项和
因此“前n项和”=F{n+2}－1
具体数值你自己带进去算吧

Answer 2

[（1＋√5）/2]^n /√5 － [（1－√5）/2]^n /√5 【√5表示根号5】

Answer 3

[（1＋√5）/2]^n /√5 － [（1－√5）/2]^n /√5 【√5表示根号5】

Answer 4

An=A(n-1)+A(n-2)