Question

如图，Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC′交斜边于点E，CC′的延长线交BB′于点F

（1）证明：△ACE∽△FBE
（2）设……

Answer 1

∵Rt△AB ¢C ¢ 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，

∴AC=AC ¢，AB=AB ¢，∠CAB=∠C ¢AB ¢   

∴∠CAC ¢=∠BAB ¢   

∴∠ACC ¢=∠ABB ¢     

又∠AEC=∠FEB

∴△ACE∽△FBE

Answer 2

（2）证明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，
∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，（1分）
∴∠CAC′=∠BAB′，
∴∠ABB′=∠AB′B=∠ACC′=∠AC′C，
∴∠ACC′=∠ABB′，（3分）
又∵∠AEC=∠FEB，
∴△ACE∽△FBE．（4分）
（3）解：当β=2α时，△ACE≌△FBE．（5分）
理由：
在△ACC′中，
∵AC=AC′，
∴∠ACC′=90°-α，（6分）
在Rt△ABC中，
∠ACC′+∠BCE=90°，
即90°-α+∠BCE=90°，
∴∠BCE=90°-90°+α=α，
∵∠ABC=α，
∴∠ABC=∠BCE，（8分）
∴CE=BE，
由（2）知：△ACE∽△FBE，
∴△ACE≌△FBE．（9分）

Answer 3

证明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，
∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，（1分）
∴∠CAC′=∠BAB′，
∴∠ABB′=∠AB′B=∠ACC′=∠AC′C，
∴∠ACC′=∠ABB′，（3分）
又∵∠AEC=∠FEB，
∴△ACE∽△FBE．（4分）
（3）解：当β=2α时，△ACE≌△FBE．（5分）
理由：
在△ACC′中，
∵AC=AC′，
∴∠ACC′=90°-α，（6分）
在Rt△ABC中，
∠ACC′+∠BCE=90°，
即90°-α+∠BCE=90°，
∴∠BCE=90°-90°+α=α，
∵∠ABC=α，
∴∠ABC=∠BCE，（8分）
∴CE=BE，
由（2）知：△ACE∽△FBE，
∴△ACE≌△FBE．（9分）

Answer 4

解：（1）证法一：∵△AED是由△ABC绕点A顺时针旋转得到的，
∴∠BAC=∠DAE=72°，∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE（3分）
∴∠ABD=
180°-∠BAD
2
=
180°-∠BAD
2
=∠ECA，（5分）
又∵∠BGA=∠CGF∴△ABG∽△FCG（7分）
证法二：∵△AED是由△ABC绕点A顺时针旋转得到的，
∴∠BAC=∠DAE=72°，∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE（3分）
∴
AB
AC
=
AD
AE
，∴△ABD∽△ACE，∴∠DBA=∠ECA（4分）
又∵∠BGA=∠CGF，∴△ABG∽△FCG（7分）

（2）答：存在（8分）
由（1）知△ABG∽△FCG，∴当BG=CG时，△ABG≌△FCG，
∵∠ABC=∠CAB=72°，∴∠BCA=36°，又△ABG≌△FCG（已知）∴GB=GC，∴∠GCB=∠GBC=36°
又BA=AD∴∠FBA=∠BDA=72°-36°=36°，∴∠BAD=108°，又∠CAB=∠DAE，所以∠CAE=∠BAD=108°
即∠α=∠CAE=108°．

Answer 5

（1）证明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，
∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，
∴∠CAC′=∠BAB′，
∴∠ABB′=∠AB′B=∠ACC′=∠AC′C，
∴∠ACC′=∠ABB′，
又∵∠AEC=∠FEB，
∴△ACE∽△FBE．
（2）解：当β=2α时，△ACE≌△FBE．
在△ACC′中，
∵AC=AC′，
∴∠ACC′=180°-∠CAC′ 2 =180°-β 2 =90°-α，
在Rt△ABC中，
∠ACC′+∠BCE=90°，即90°-α+∠BCE=90°，
∴∠BCE=α，
∵∠ABC=α，
∴∠ABC=∠BCE，
∴CE=BE，
由（1）知：△ACE∽△FBE，
∴∠BEF=∠CEA，∠FBE=∠ACE，
又∵CE=BE，
∴△ACE≌△FBE．

Answer 6

AC=AC' 所以△ACC'是等腰三角形，所以角ACC'=角AC'C; 同理△ABB'是等腰，角ABB'=角AB'B,又由于角CAC'=角BAB'(角CAC'=角CAB+角BAC'=角C'AB'+角BAC',以上两个等腰三角形的顶角相等）可知它们的底角相等，所以角ACC'=角ABB'，又因为角ACE=角FEB(对顶角相等），所以△ACE∽△FBE（有两个角对应相等的三角形相似）。证毕。