为什么正交阵特征值模为1请证明

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2021-10-23 · 分享及时的休闲、娱乐信息。
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设任意向量c,有ac=ac,a为a的本征值,此式左乘b得到b*ac=b*ac(*),由于a*b=i,故b*a=i
所以得到c=ab*c,则b的
特征值为a^(-1),由于特征多项式解相同,所以a=a^(-1),所以特征值模为1。

特征值是指设 A 是n阶方阵,如果存在数m和非零n维列向量 x,使得 Ax=mx 成立,则称 m 是A的一个特征值或本征值。

非零n维列向量x称为矩阵A的属于(对应于)特征值m的特征向量或本征向量,简称A的特征向量或A的本征向量。

设A是向量空间的一个线性变换,如果空间中某一非零向量通过A变换后所得到的向量和X仅差一个常数因子,即AX=kX ,则称k为A的特征值,X称为A的属于特征值k的特征向量或特征矢量(eigenvector)。

如在求解薛定谔波动方程时,在波函数满足单值、有限、连续性和归一化条件下,势场中运动粒子的总能量(正)所必须取的特定值,这些值就是正的本征值。

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杨风游
2015-12-23 · TA获得超过3.2万个赞
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证明:设λ是正交矩阵A的特征值,α是A的属于特征值λ的特征向量
即有 (A共扼)'A =E,Aα=λα,α≠0.
在 Aα=λα 等式两边取共扼转置得 (α共扼)'(A共扼)' = (λ共扼)(α共扼)'.
等式两边左乘 Aα 得:
(α共扼)'(A共扼)'Aα = (λ共扼)(α共扼)'Aα
即有
(α共扼)'α =(α共扼)'[(A共扼)'A]α=(λ共扼)λ(α共扼)'α
所以 [(λ共扼)λ - 1 ] (α共扼)'α = 0.
因为 α≠0
所以 (λ共扼)λ = 1.
即 λ 的模为1.
复数域上的正交矩阵的定义忘了,想来应该是 (A共扼)'A = E.
若不是这样,上述证明仅供参考.
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