判断无穷级数的敛散性第二题 100
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解：分享一种解法。∵当n≥2时，n^3+5<n^4，∴ln(n^3+5)<ln(n^4)=4lnn，∴1/ln(n^3+5)>(1/4)/lnn，
∴∑1/[nln(n^3+5)]=1/ln6+∑1/[nln(n^3+5)]>1/ln6+(1/4)∑1/[nlnn](n=2,3,…,∞)。
设f(x)=1/[x(lnx)]，则f(x)在[2,+∞)非负单调减且连续，又∫(2,+∞)dx/(x(lnx)与∑1/(nlnn)有相同的敛散性。
而∫(2,+∞)dx/(xlnx)=ln(lnx)丨(x=2,+∞)→∞，发散。
∴由积分判别法，原级数发散。供参考。
∴∑1/[nln(n^3+5)]=1/ln6+∑1/[nln(n^3+5)]>1/ln6+(1/4)∑1/[nlnn](n=2,3,…,∞)。
设f(x)=1/[x(lnx)]，则f(x)在[2,+∞)非负单调减且连续，又∫(2,+∞)dx/(x(lnx)与∑1/(nlnn)有相同的敛散性。
而∫(2,+∞)dx/(xlnx)=ln(lnx)丨(x=2,+∞)→∞，发散。
∴由积分判别法，原级数发散。供参考。
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