Question

a,b,c>0,a+b+c=1，证(a+1/a)(b+1/b)>=25/4

Answer 1

解：因为已知a+b=1，a＞0，b＞0，
∴根据基本不等式a+b≥2√（ab），
∴ab≤1/4，
又∵(a+1/a)(b+1/b)-25/4=〔（a^2+1）/a〕〔（b^2+1）/b〕-25/4
=〔4a^2· b^2 -33ab+8 〕/（4ab ）
=（1-4a b）（8-ab）/（4ab ）》0
∴(a+1/a)(b+1/b)-25/4》0，即a+1/a)(b+1/b)》25/4

Answer 2

怎么多了个数 c 啊？

由均值定理，1=a+b>=2√(ab) ，因此 ab<=1/4 ，1/(ab)>=4 ，
则 (a+1/a)(b+1/b)=ab+b/a+a/b+1/(ab)=[1/√(ab)-√(ab)]^2+2+(b/a+a/b)
由于 1/√(ab)-√(ab)>=2-1/2=3/2 ，b/a+a/b>=2√(a/b*b/a)=2 ，
因此 (a+1/a)(b+1/b)>=(3/2)^2+2+2=25/4 。

Answer 3

可知1/a>1,1/b>1,则(a+1/a)(b+1/b)有最小值。
即当a,b无限接近1/2时(a+1/a)(b+1/b)有最小值，(a+1/a)(b+1/b)=（1/2+2)(1/2+2)=25/4
所以（a+1/a)(b+1/b)>=25/4