Question

若lim(n→∞)an=a≠0,则当n充分大时，任意ε>0，存在N>0，当n>N时，恒有|an-a|<ε

==>||an|-|a||<=|an-a|<|a|/2
==>|a|/2<|an|<3|a|/2
关于这当中两部绝对值不等式的推导看不明白

Answer 1

利用stolz定理,是最简单的做法
结论是明显的~
如果不用stolz定理,做法其实也不难~
lim(n→∞)a(n+1)/a(n)=a
根据定义：
对任意ε>0,存在N>0,当N>N,就有|a(n+1)/a(n)-a|
stolz定理： 设有数列An,Bn 若Bn>0递增且有n→+∞时Bn→+∞ 则有： 若lim(A(n+1)-An)/(B(n+1)-Bn)=L 则，lim(An)/(Bn)=L 因为lim a(n+1)/an=a，且an>0， 故a≥0 同取对数： ln[lim a(n+1)/an]=lna lim ln[a(n+1)/an] = lna lim lna(n+1) - lnan = lna 即： lim [lna(n+1) - lnan] / 1 =lna 进而构造： lim [lna(n+1) - lnan] / [(n+1)-(n)] =lna 令，An=lnan ，Bn=n 原式变为： lim(A(n+1)-An)/(B(n+1)-Bn)=lna 明显，Bn=n>0，单调递增，且n→+∞时Bn→+∞ 根据stolz定理，就有 lim An/Bn=lna 即， lim lnan / n = lna 即， lim ln(an^(1/n)) = lna 即， ln lim an^(1/n) =lna 因此， lim an^(1/n) = a

追问

额 老兄 我不是要证明这个极限 只是这个题目解析中这两步我看不懂，我想知道这两步绝对值不等式是怎么推导的。
==>||an|-|a|||a|/2<|an|<3|a|/2

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示

Answer 3

很好