Question

求解这个不定积分

求解这个不定积分我一步也没看懂

Answer 1

答案利用的是第一类换元法（凑微分），为了便于理解，这里采用第二类换元的方法：

第一步和答案一样，分子和分母同时除以3^2x，接下来从第二步开始：

令u=(2/3)^x，那么

du=(2/3)^x*ln(2/3)*dx=(u*ln(2/3))*dx，即

因此

 

上图中的两个箭头十分关键，第一个箭头把对数里面的分式换成了倒数，因此符号反转；第二个箭头把反正切函数里面的分式也换成了倒数，所以符号再次反转，同时会出现一个常数项(π/2，通过直角三角形很容易看出来)，这个常数合并到末尾的C里面，即可得到这个结果。

到这里我们看到题目答案的做法有点令人费解，虽然结果是对的。

追问

我就想知道那个2/3是怎么来的

追答

那个位置的(2/3)?

追问

两个位置的都不知道

追答

第一个地方是指数函数求导自动出来的：

(a^x)'=a^x*lna,第二个地方是积分之后换元出来的：

∫1/(1+u^2)du=arctanu+C，这是基本积分公式之一，需要记住。因为换元的时候令u=(2/3)^x，因此得到这样的结果。

追问

第一步，化成（2/3）x

这是咋化的

追答

绿色箭头表示分子分母同时除以3^2x

追问

多谢

你这个图片是自己做出来的？

追答

用mathtype，自己可以写这样的公式

追问

OK

Answer 2

为啥看不懂呢？