advanced mathmatics~~~高等数学】一道经典的三重积分题目的解答，该如何理解？希望详细解析
具体请看图！我的具体问题：1）rs,是什么东东？表示什么？怎么得到的？2）I，怎么得到的？因为分数只有18，加不上去【百度规定吧可能】，请谅解！我思考了很多天啦，但似乎真...
具体请看图！我的具体问题：1）rs,是什么东东？表示什么？怎么得到的？2）I，怎么得到的？因为分数只有18，加不上去【百度规定吧可能】，请谅解！我思考了很多天啦，但似乎真的找不到丝毫头绪啊！茫然无绪，真的是这样子！哪怕，您给我提示一哈，也行！那么，我可以尝试着自己运算和画图看看~~~~THANKS A LOT!
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2个回答
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或者好像是我之前的回答。。。
先说换元的想法，就是像你画的图那样，圆片从下往上运动就得到积分区域，所以x,y用圆的参数方程来表示，半径弄清楚与z的关系就行了。
最后的两个问题其实是一个问题，就是Jacobian矩阵行列式计算。
然后x^2+y^2=r^2,dxdydz=rsdrdθds代入并注意范围就行了。
有问题追问。
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首先表示极端感谢！然后，十分不好意思，力有不逮，只好继续追问
________________________________
继续发出疑问：是不是说，这个“环元变量”S，内含x,y两个参变量，
所以，就导致了：先对r积分，然后，再对S积分？
【但我仔细想了想，好像也不对！嗯~~~我苦苦冥想，也想不出个理由来啦】
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积分顺序可以任意，关键在于换顺序后积分上下限也要变
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其实这里用的是柱坐标， s 就是 z （根本不必要写成 s）.
直角坐标面积微元化为极坐标的面积微元的公式是 dxdy = rdrdt
本题解法应为： 用柱坐标
I = ∫<0, 2>dz∫<0, 2π>dt∫<0,√(2z)> r^2 rdr
= ∫<0, 2>dz∫<0, 2π>dt[r^4/4]<0,√(2z)>
= 2π∫<0, 2> z^2 dz = 2π[z^3/3]<0, 2> = 16π/3
直角坐标面积微元化为极坐标的面积微元的公式是 dxdy = rdrdt
本题解法应为： 用柱坐标
I = ∫<0, 2>dz∫<0, 2π>dt∫<0,√(2z)> r^2 rdr
= ∫<0, 2>dz∫<0, 2π>dt[r^4/4]<0,√(2z)>
= 2π∫<0, 2> z^2 dz = 2π[z^3/3]<0, 2> = 16π/3
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LAOSHI老师：
常规解法，我想，一般99%的工科生，应该会采用常规解法~~~
那么，就得需要用柱坐标来做。
我想一般是，绝然不会想到Jacobian determinant的~~~因为基本上，工科生
不打会接触到用雅可比方法来解决三重积分的习题和例题
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另外，老师我请您看一哈图中连接中的问题，可以吗？我觉得“非常数学专业”
追答
后面这个链接是球坐标问题。
直角坐标体积微元化为球坐标的体积微元的公式是
dxdydz = r^2sinφdrdθdφ
是由雅克比公式导出的。
不过工科学生记住它就行了，不必太追究如何导出。
∫∫∫f(x,y,z)dxdydz
= ∫∫∫f(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ) r^2sinφdrdθdφ
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