Question

微分方程问题，见下图

Answer 1

y^2/y'-f(0,x) y(t)dt=1
等式两边求导：
(2yy'-y''y^2)/y'^2-y'=0
2yy'-y''y^2-y'^3=0
同除以y^2
y''+y'^3/y^2-2y'^2/y=0
设y=e^t
y'=dy/dt * dt/dx=e^t * t'
y''=e^t t'^2+e^t *t''
t'^2e^t+t''e^t+t'^3e^(3t)/e^(2t)-2e^(2t)t'^2/e^t=0
e^t *t'+t''e^t+t'^3 *e^t-2e^t *t'^2=0
t'+t''+t'^3-2t'^2=0
同除以t'^2
1/t'+t''/t'^2-2=0
设1/t'=u
u'=-t''/t'^2 代入上式：
u-u'-2=0
u'=u-2
1/(u-2)du=dx
ln(u-2)=x+c
u=C1e^x+2
故：1/t'=c1e^x+2
t'=1/(c1e^x+2）
令e^x=m
dm/dx=e^x
1/mdm=dx则：
dt=1/(c1e^x+2)dx
t=f1/(m(c1m+2)dm
t=c1/2 *f[1/(c1m)-1/(c1m+2)]dm
t=c1/1 *[1/c1 *ln(c1m)-1/c1 *ln(c1m+2)+c2
t=ln(c1m/(c1m+2))+c2
即：t=ln(c1e^x/(c1e^x+2))+c2
即：lny=ln(c1e^x/(c1e^x+2))+c2
y=C2 *c1e^x/(c1e^x+2)
y=Ce^x/(c1e^x+2) 自已检查一下。
y(0)=1
1=c/(c1+2)
y=(c1+2)e^x/(c1e^x+2)
y'=[(c1+2)e^x *(c1e^x+2)-c1e^x(c1+2)e^x]/(c1e^x+2)^2
太麻烦，出题的有病，自已求c1

追问

第三行最后那里应该减去的是y吧，不是y导吧

是不是我这样？

有毛病吗？我算出来就是这样，可是答案给你跟我这个差好多

追答

是的，不过很简单了。
y^2/y'-f(0,x) y(t)dt=1
求导：
(2yy'^2-y''y^2)/y'^2=y
2y-y''y^2/y'^2=y
y=y''y^2/y'^2
1=y''y/y'^2。。。。。。。。。。1
设(y/y')=u
(y'^2-y''y)/y'^2=u'
1-y''y/y'^2=u'
y''y/y'^2=1-u'
代入1式：1=1-u' u'=0
u=c1
y/y'=c1
1/ydy=1/c1dx
lny=1/c1 x+c2
y=C1e^(C2x)
代入(0,1) 1=c1

Answer 2

移项，两边求导，按2介微分方程求法来解即可

追问

求完等于这个对吗？

因为答案给的不是这样的，我不知道是不是我算错了

追答

应该化简成yy'' - y'^2 =0,这题有例题

再根据条件求出C1C2就行了

追问