Question

已知函数f(x)=-x^3+ax^2+b(a,b€R)(1）求函数f(x)的单调递增区间

（2）若对任意a€[3,4],函数f(x)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围

Answer 1

解：1、f'(x)=-3x²+2ax
令f'(x)=0得：
x=0或x=2a/3
∴当a>0时，函数的单调递增区间为(0,2a/3)
当a<0时，函数的单调递增区间为(2a/3,0)
当a=0时，函数不存在单调递增区间
2、对任意a€[3,4],函数f(x)在R上都有三个零点
根据函数图像可知：
即对任意a€[3,4],f(0)<0,f(2a/3)>0
解得：b<0;4a³/27+b>0
即：-4a^3/27 <b<0，对于a∈[3,4]恒成立，只需将a=3带入其中，得：
-4<b<0

Answer 2

（1）f'(x)=-3x²+2ax=(-3x+2a)x f'(x)=0 x=0 或 x=2a/3
①若a>0,则 f'(x)开口向下，在（-∞，0）上为负，（0，2a/3)为正，（2a/3,+∞）为负， 所以，单调递减区间是（-∞，0）和（2a/3,+∞），单调递增区间是[0，2a/3]。
②若a<0,则 f'(x)开口向下，在（-∞，2a/3）上为负，（2a/3，0)为正，（0,+∞）为负， 所以，单调递减区间是（-∞，2a/3）和（2a/3,0），单调递增区间是[0，+∞]。
③若a=0,则f'(x)<0 仅在x=0处取等于0，所以，f(x)无递增区间。
只需要回答递增区间，前面递减区间可以忽略哈。
(2)a>0,自己根据（1）的①的单调性，画出大概图像，然后画一个水平线有三个交点，所以，f(0)<0,f(2a/3)>0,带入，得 b<0 且 4a^3/27+b>0 -4a^3/27 <b<0 ，对于a∈[3,4]很成立，所以，-4<b<0