Question

高中数学！！急！！！（要有过程~谢谢喽！）

已知函数f(x)=sin(2x+π/6)+sin(2x-π/6)+cos2x+a(a∈R,a为常数)
（1).求函数的最小正周期及单调递减区间
（2).若x∈[0,π/2]时，f(x)的最小值是-2,求a的值

Answer 1

f(x)=sin(2x+π/6)+sin(2x-π/6)+cos2x+a
=sin2xcos30+cos2xsin30+sin2xcos30-cos2xsin30+cos2x+a
=2sin2xcos30+cos2x+a
=2(sin2xcos30+cos2xsin30)+a
=2sin(2x+30)+a
最小正周期是π，
单调递减区间：90+360k<2x+30<270+360k
30+180k<x<120+180K
当x∈[0,π/2]时，最小正周期是π，2cos
单调递减区间：-90+360k<=2x+30<=90+360k
-30+180k<=x<=30+180K
当x∈[0,π/2]时，最低点30+180K的k值为0，x=30，f(x)=2sin(2x+30)+a=2+a=-2，a=-4

Answer 2

1.
f(x)=sin(2x+π/6)+sin(2x-π/6)+cos2x+a
=√3/2sin2x+1/2cos2x+√3/2sin2x-1/2cos2x+cos2x+a
=√3sin2x+cos2x+a
=2sin(2x+π/6)+a
所以f(x)的最小正周期2π/2=π
sinx的单调递增区间[2kπ-π/2，2kπ+π/2]
2kπ-π/2<=2x+π/6<=2kπ+π/2
-π/2+2kπ≤2x+π/4≤π/2+2kπ（k属于z）
-3π/8+kπ≤x≤π/8+kπ（k属于z）
2.
∵x属于【0，π/2】 ∴sinx属于【0，1】
∴当sinx=0时，f (x)min=-2
∴a=-2

追问

第一问是单调递减区间，不是递增

追答

sinx的单调递增区间[2kπ+π/2，2kπ+3π/2]
2kπ+π/2<2x+π/6<=2kπ+3π/2
π/3+2kπ≤2x≤4π/3+2kπ
π/6+kπ≤x≤2π/3+kπ
sinx的单调递增区间π/6+kπ，2π/3+kπ

Answer 3

如图：