Question

已知定义在R上的函数f（x）=a+（1/1+2x）是奇函数（1）求a的值（2）证明函...

已知定义在R上的函数f（x）=a+（1/1+2x）是奇函数（1）求a的值（2）证明函数f（x）在R上是减函数（3）若对任意的t∈R：不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）<0恒成立，求k的取值范围

Answer 1

解;
(I)由定义在R上的函数f(x)是奇函数,则有f(0)=a+1/(1+2^0)=0,得到a=-1/2
(II)f(x)=-1/2+1/(1+2^x)
设x1>x2
f(x1)-f(x2)=1/(1+2^x1)-1/(1+2^x2)=(2^x2-2^x1)/[(1+2^x1)(1+2^x2)]
由于x1>x2,则有2^x1>2^x2,1+2^x1>0,1+2^x2>0
故有f(x1)-f(x2)<0
即有f(x1)<f(x2)
所以,函数f(x)在R上是减函数.
(III)由（Ⅰ）知f(x)= -1/2+1/(2^x+1) ，由(II)知f(x) 在 正负无穷上为减函数。
又因 f(x)是奇函数，从而不等式：f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0 等价于f(t^2-2t)<-f(2t^2-k)=f(k-2t^2) ，
因f(x) 为减函数，由上式推得：t^2-2t>k-2t^2 ．
即对一切t∈R 有：3t^2-2t-k>0 ，
从而判别式=4+12k<0 ==>k<-1/3