Question

函数f(x)=|x|sin(x-2)/x(x-1)(x-2)^2 在下列哪个区间内有界？A（-1,0）B（0,1）C(1,2)D(2,3)

请特别说说在1处极限为什么是 正无穷

Answer 1

当x从大于1的方向趋于1时，分母趋于0+，分子趋于－sin1，极限是负无穷。
当x从小于1的方向趋于1时，分母趋于0－，分子趋于－sin1，极限是正无穷。
总之，在1的邻域f(x)是无界的。
当x趋于2时，sin(x－2)等价于x－2，因此表达式等价于2/2*1*(x－1)=1/(x－1)，无界。
当x趋于0时，|x|/x是有界的，sin(x－2)/(x－1)(x－2)^2趋于sin2/4，因此在0的邻域有界。
选A。

追问

在x趋于0或2时 为什么不分从小于 或从 大于的方向

追答

也可以，但不需要。
你一开始问的是趋于1处的结果，但结论是错误的，因此我详细解释了1处的极限情况。
0和2也要分的，但我没强调正无穷还是负无穷，只是说无穷，因此可以不分。

追问

能不能再说一下趋于2时的情况，有点没看懂，谢谢

追答

简单点说，分子等价于2(x－2)，分母等价于2(x－2)^2，相除得表达式等价于1/(x－2)，无界。
分子：|x|等价于2，sin(x－2)等价于x－2，因此分子是2(x－2)。
分母：x等价于2，(x－1)等价于1，因此分母是2(x－2)^2。