Question

高二数学证明题：设0<a<1,0<b<1,0<c<1,求证：（1-a)b, (1-b)c, (1-c)a 不能同时大于1/4 在线等！！！

请说明具体步骤和原因

Answer 1

证明：用反证法来证明
假设(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a都大于1/4，
由于a，b，c∈(0，1)，
所以
√[(1-a)b]>1/2，
√[(1-b)c]>1/2，
√[(1-c)a]>1/2，
即√[(1-a)b]+√[(1-b)c]+√[(1-c)a]>3/2············①
又因为
√[(1-a)b]≤(1-a+b)/2，·············②
√[(1-b)c]≤(1-b+c)/2，
√[(1-c)a]≤(1-c+a)/2，
所以√[(1-a)b]+√[(1-b)c]+√[(1-c)a]≤3/2，
这与①式：√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)>3/2矛盾。
所以假设不成立，
故(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a中至少有一个不大于1/4