Question

高二数学题

双曲线C:X^2—Y^2=2右支上的弦AB过右焦点F。
1.求弦AB的中点M的轨迹方程
2.是否存在以AB为直径的圆过原点O？若存在，求出直线AB的斜率K的值，若不存在，说明理由

Answer 1

基础题，就是运算量大了一点点。我都懒得写的。不过，鉴于最近心情好，就写一些吧！

1、由题意，F(2,0) 可以设直线AB的方程：x=ky+2.k为任意实数。（注意：k是斜率的倒数）
设A（x1，y1），B(x2，y2),M(x0,y0)带入双曲线方程有 x1^2-y1^2=2 x2^2-y2^2=2.（1）
两式作差，结合中点坐标公式，有y0=k *x0 （2）
将直线带入方程，有：（k^2-1）y^2+4ky+2=0
韦达定理:y1+y2=4k/(1-k^2) y1*y2=2/(k^2-1) (3) 要求：k不等于正负1
x1+x2=k(y1+y2)+4=4/(1-k^2) >0 那么点m的坐标为（2/(1-k^2),2k/(1-k^2)） （4）
消去参数k，得到m的轨迹方程：（x-1）^2-y^2=1 要求：x>0
2、写出圆的方程：（x-x1）(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.展开，带入1中有关式子，
假设存在的话，及方程经过（0，0），带入x=0 y=0得到
k^2+1=o,无实数解，从而假设不成立。

Answer 2

双曲线c=2，设AB：x=my+2带入曲线方程得
(m²－1)y²＋4my＋2=0 y1+y2=-4m／（m²－1）.x1+x2=-4／（m²－1）.
中点坐标（-2／（m²－1）.-2m／（m²－1）.）消掉m得M的轨迹为x²-2x-y²=0
（x-1）^2-y^2=1 (x＞0)

第二问不会

Answer 3

设AB直线为y=k(x-2),带入原方程就可解
了