Question

在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．

在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为72？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

解答：解：（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，
∴设|OB|=|OC|=5|OA|=5m，
∵S△ABC=15，
∴
1
2
（m 5m）×5m=15，
∴m=1，
∴|OB|=|OC|=5，
|OA|=1，
∵抛物线y=ax2 bx c（a≠0）经过A、B、C三点A（-1，0）B（5，0）C（0，-5），
设二次函数解析式为y=ax2 bx c，
把A（-1，0）B（5，0）C（0，-5）分别代入解析式得，
a-b c=0
25a 5b c=0
c=-5
，
解得
a=1
b=-4
c=-5
，
∴a=1，b=-4，c=-5，
∴y=x2-4x-5．

（2）设直线BC的解析式为y=kx b，把（5，0），（0，-5）分别代入解析式得：
5k b=0
b=-5
，
解得
k=1
b=-5
，
则一次函数解析式为y=x-5 即x-y-5=0，
设M的坐标为（n，n2-4n-5），
代入点到直线的距离公式得：\frac|n (-1)(n2-4n-5) (-5)|=7
2
，
整理得：①n2-5n 14=0，
∵△=25-64=-39＜0，
∴方程无解；
②n2-5n-14=0，
解得：n=-2或n=7．
故M点坐标为（-2，7），（7，16）．

Answer 2

有图吗