Question

已知函数f(x)=1/4x^4+x^3-9/2x^2++cx有三个极值点

已知函数f(x)=1/4x^4+x^3-9/2X^2+cx有三个极值点
1.证明：-27<c<5
2.若存在实数c，使函数f(x)在区间[a,a+2]上单调递减,求a的取值范围

第一题，我不明白“为什么要使得f'(x)=0有3个解
就必须是f'(-3)>0，f'(1)<0”
那第二题可以给我讲个思路，谢谢

Answer 1

（1）.这实际是用到了数形结合
[f(x)]′=x³+3x²-9x+c,设 g（x）=y=x³+3x²-9x，y=c
要f'(x)=0有3个解，即可以理解为曲线y=x³+3x²-9x与直线y=c有3个交点
而g′(x)=3(x+3)(x-1),可知x=-3处为函数g(x)的极大值，x=1处为极小值
可知只需g(-3)>c,g(1)<c,曲线与直线有3个交点，亦即f'(-3)>c，f'(1)<c，f'(x)=0有3个解
（2）.作函数f'(x)的草图，据图，带入区间端点值使f'(x)<0即可（不知道说清楚没）

Answer 2

1. f'(x)=x^3+3x^2-9x+c
令f'(x)=0,则x^3+3x^2-9x+c=0 （1）
即（1）式应有三个不同实数根。
对f(x)进行二次求导，即f''(x)=3x^2+6x-9 (2)
令(2)式=0，即 3x^2+6x-9 =0 解得x=1或-3
因为（1）式应有三个不同实数根。
则f'(1)<0且f'(-3)>0,即1+3-9+c<0且（-3）^3+27+27+c>0 即证
-27<c<5。 三个解是因为有三个极值点。

Answer 3

1.f'(x)为三次函数,要使三次函数有三个解必须这个函数(指得是导数函数)的极大值大于0极小值小于0.
2.即导数函数小于0的区间长度大于2亦即与之对应的两个零点距离2以上