Question

求∫x^4/(x+1)^(1/2)dx值的范围？

有没有巧解的方法！最好一眼能看出来什么门道

Answer 1

令t = √(x + 1) => t² = x + 1 => 2tdt = dx
∫ x⁴/√(x + 1) dx
= 2∫ (t² - 1)⁴ dt
= 2∫ (t⁸ - 4t⁶ + 6t⁴ - 4t² + 1) dt
= 2[t⁹/9 - (4/7)t⁷ + (6/5)t⁵ - (4/3)t³ + t] + C
= 2[(1/9)(x + 1)^(9/2) - (4/7)(x + 1)^(7/2) + (6/5)(x + 1)^(5/2) - (4/3)(x + 1)^(3/2) + √(x + 1)] + C
= (2/315)(32x⁴ - 40x³ + 48x² - 64x + 128)√(x + 1) + C
你所指的范围是什么？

追问

写错了，不是不定积分，是定积分上限为1，下限为0.这题有些麻烦

追答

一眼看出这函数只是多项式形式而已，换元后用二项式定理拆开就好了
修正一下上面不定积分的答案：(2/315)(35x⁴ - 40x³ + 48x² - 64x + 128)√(x + 1) + C
∫(0~1) x⁴/√(x + 1) dx
= [((2√2)/315)(35 - 40 + 48 - 64 + 128)] - (2/315)(128)
= (214√2)/315 - 256/315
= (2/315)(107√2 - 128) ≈ 0.148069
另外一个方法就是设x = tan²z，dx = 2tanz * sec²z dz
∫ x⁴/√(x + 1) dx，√(x + 1) = √(tan²z + 1) = √(sec²z) = secz
= ∫ tan⁸z/secz * (2tanz * sec²z) dz
= 2∫ tan⁹zsecz dz
= 2∫ tan⁸z d(secz)
= 2∫ (sec²z - 1)⁴ d(secz) ... 这个方法跟上面那个一样的
再一个方法就是分部积分法，
∫ x⁴/√(x + 1) dx = ∫ 2x⁴/[2√(x + 1)] d(x + 1) = 2 ∫ x⁴ d√(x + 1)
= 2√(x + 1)x⁴ - 2∫ √(x + 1) dx⁴
= 2√(x + 1)x⁴ - 8∫ √(x + 1)x³ dx ... 自己会做吧

Answer 2

本题问题的是取值范围，那应该是估值，而非计算。
只需运用定积分的性质即可
m(b-a) ≤∫ [a-->b] f(x) dx ≤M(b-a)
其中M与m分别表示f(x)在[0,1]内的最大值和最小值
本题中：[x⁴/(x+1)^(1/2)]'=4x³/(x+1)^(1/2)-1/2x⁴/(x+1)^(3/2)
=x³/(x+1)^(1/2)*(4-x/(2x+2))>0 x∈(0,1)
因此被积函数单增，则m=f(0)=0，M=f(1)=1/√2
因此本积分值的范围是(0,1/√2)

不过一般这种估值法主要用于积分算不出来时才用的，象本题对于一个能求出的积分运用这个方法，确实少见。