Question

定积分计算∫√(1+cos2x)dx,积分区间是0到π

∫√(1+cos2x)dx
=∫√(2cos²x)dx
=∫(√2)*(√cos²x)dx
=√2∫cosx dx
=√2 (sinπ-sin0) =0
我知道这答案是错的，可不懂哪错了，麻烦解释下顺便给出正确的步骤

Answer 1

因为当Pai/2<x<Pai时，cosx<0,所以，根号（cosx)^2=|cosx|
就是这一步错了，
=∫(√2)*(√cos²x)dx
=√2∫cosx dx

解：∫<0,π>√(1+cos2x)dx=∫<0,π>√(2cos²x)dx （应用余弦倍角公式）
=√2∫<0,π>│cosx│dx
=√2(∫<0,π/2>│cosx│dx+∫<π/2,π>│cosx│dx)
=√2(∫<0,π/2>cosxdx-∫<π/2,π>cosxdx)
=√2[(sinx)│<0,π/2>-(sinx)│<π/2,π>]
=√2[(1-0)-(0-1)]
=2√2。

Answer 2

=∫(√2)*(√cos²x)dx这一步错了
√cos²x要去掉跟号是|cosx|
所以接下来是
=√2∫|cosx| dx
=2√2∫cosx dx（x在积分区间是0到π/2)
=2√2 (sinπ/2-sin0)
=2√2

Answer 3

解答如图。

你的错误是开方时没取绝对值。