Question

已知四边形ABCD，点E是CD上的一点，连接AE、BE.

请你判断命题“AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,点E是
CD的中点,则AD∥BC”是否正确？

Answer 1

不正确。
当△ADE、△ABE和△BCE都是等边三角形时，
虽然满足已知条件，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，CE=DE。
但∠BAD=120°，∠ABC=120°，AD与BC不平行。
只有∠BAD+∠ABC=180°，AD与BC才平行。
答：当∠BAD+∠ABC≠180°时，题目中的命题就不正确。

Answer 2

解：（1）如：①②④⇒AD∥BC．
证明：在AB上取点M，使AM=AD，
连接EM，∵AE平分∠BAD，
∴∠MAE=∠DAE．
又∵AM=ADAE=AE，
∴△AEM≌△AED．
∴∠D=∠AME．
又∵AB=AD+BC，
∴MB=BC．
∴△BEM≌△BCE．
∠C=∠BME，
故∠D+∠C=∠AME+∠BME=180°．
∴AD∥BC．
（2）不正确．
作等边三角形ABM，
AE平分∠BAM，BE平分∠ABM，
且AE、BE交于E，
连接EM，则EM⊥AB，
过E作ED∥AB交AM于D，交BM与C，
则E是CD的中点．
而AD和BC相交于点M．
∴命题：“AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，E是CD的中点，则AD∥BC”是不正确的．

Answer 3

正确，过E作直线AD,AB,BC的垂线，垂足分辨为F，G，H
∵AE平分∠BAD,BE平分∠ABC
∴EF=EG=EH
∵点E是CD的中点
∴ED=EC
∵∠DEF=∠CEH
∴△DEF≌CEH
∴∠FDE=∠C
∴AD∥BC