Question

问一道初中高中简单几何体

Answer 1

（1）证明：因为AB垂直BD于B
所以角ABD=90度
所以三角形ABC是直角三角形
因为AB=BC
所以三角形ABC是等腰直角三角形
所以AC^2=AB^2+BC^2
所以AC=根号2AB
因为DE垂直BD于D
所以角BDE=90度
所以三角形BDE是直角三角形
因为DE=DB
所以三角形BDE是等腰直角三角形
所以BE^2=BD^2+DE^2
所以BF=根号2BD
因为BF垂直AD于F
所以角AFB=角CFB=90度
因为角AFB+角FAB+角ABF=180度
所以角FAB+角ABF=90度
因为角ABD=角ABF+角DBF=90度
所以角FAB=角DBF
所以三角形ABF相似三角形BDF (AA)
所以BF/DF=AB/BD
所以BF*BD=DF*AB
所以根号2BF*BD=DF*根号2AB
所以AC*DF=根号2BF*BD
(2)解：设AC与BE相交于点O 连接OF ,OC
因为角ABD=90度（已证）
角BDE=90度 （已证）
所以角ABD+角BDE=180度
所以角ABE=角DEB
因为三角形BDE是等腰直角三角形（已证）
所以角DBE=角DEB=45度
因为角ABD=角ABE+角CBO=90度
所以角CBO=45度
所以角ABE=角CBO=45度
所以OB平分角ABC
所以BE是三角形ABC的角平分线
因为三角形ABC是等腰直角三角形（已证）
所以BE是等腰直角三角形ABC的角平分线.，垂线
所以角AOB=90度
角BAC=角ACB=45度
因为角AFB=90度（已证）
所以角AFB=角AOB=90度
所以A ,B ,O ,F四点共圆
所以角BAC=角OFB=45度
角ABF=角AOF
因为角BFD=角OFB+角OFC=90度（已证）
所以角OFC=45度
所以角OFC=角DEB=45度
所以O ,D ,E ,F四点共圆
所以角DFE=角DOE
因为三角形ABF相似三角形DBF (已证）
所以角ABF=角BDF
所以角AOF=角BDF
所以O ,C ,D ,F四点共圆
所以角COD=角CFD
因为角COE=角AOB=90度（对顶角相等）
角COE=角COD+角DOE=90度
所以角CFD+角DFE=角CFE=90度
所以角CFE=90度
（3）当点C运动到BD的中点时,CE平行BF
证明：角BFD=90度（已证）
所以三角形BFD是直角三角形
因为C是BD的中点
所以CF是直角三角形BFD的中线
所以CB=CF=CD
所以角CBF=角CFB
因为角DCF=角CBF+角CFB
所以角DCF=2角CBF
因为角CFE=角BDE=90度（已证）
所以三角形CFE和三角形CDE是直角三角形
因为CE=CE
所以直角三角形CFE和直角三角形CDE全等（HL)
所以角FCE=角DCE=1/2角DCF
所以角DCF=2角DCE
所以角CBF=角DCE
所以CE平行BF