Question

如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于A、B两点，D为抛物线的顶点

如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于A、B两点，D为抛物线的顶点，O为坐标原点．若OA、OB（OA＜OB）的长分别是方程x2-4x+3=0的两根，且∠DAB=45°．
（1）求抛物线对应的二次函数解析式；
（2）过点A作AC⊥AD交抛物线于点C，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点A任作直线l交线段CD于点P，若点C、D到直线l的距离分别记为d1、d2，试求的d1+d2的最大值．
请速答2、3问，初三知识解答，不要弄斜率

Answer 1

(1)方程x²-4x+3=0的根为1和3，又OA<OB,则：OA=1,OB=3,即点A为(-1,0),B为(3,0).

设过AB的抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3).

∵点D为抛物线的顶点,则DA=DB;又∠DAB=45°.

∴⊿ABD为等腰直角三角形.

作DM⊥AB于M,则:DM=AB/2=2,AM=2,OM=1.即点D为(1,-2),代入y=a(x+1)(x-3).

∴-2=a(1+1)*(1-3), a=0.5.即:y=0.5(x+1)(x-3)=0.5x²-x-1.5;

(2)∵AC⊥AD;∠DAB=45°.

∴∠BAC=45°;作CH⊥X轴于H,则CH=AH.

设OH=m,则：CH=AH=m+1,即点C为(m,m+1).

∴m+1=0.5m²-m-1.5, 解得:m=5或-1.(m=-1舍去）

故点C的坐标为(5,6).

(3)设DE⊥直线L于E,CG⊥直线L于G,则:CG=d1,DE=d2.

作DF垂直CG的延长线于F,则四边形DEGF为矩形,FG=DE,即CF=CG+FG=d1+d2.

点P为线段CD上的点。

∴当直线L垂直CD于P时：点E和G均与点P重合,此时CG+DE=CP+DP=CD.

∴d1+d2的最大值=CD=√(AD²+AC²)=√[(AM²+DM²)+(AH²+CH²)=√(8+72)=4√5.

Answer 2

第一问可求解析式y=1/2(x+1)(x-3) 顶点坐标是（1,-2）又因为A（-1,0） 可求直线AD：y=-x-1
因为AC⊥AD，∠CAD=90，∠DAB=45° 所以∠CAB=45°所以AC：y=x+1 联立得x=5 C(5,6)

我记得初中没讲过点到直线距离吧。。。