Question

请高手看看，这个微分方程如何求解

Answer 1

这个方程中a应该不为零，因为否则便不是微分方程了；可以先除以a再考虑，即
v'+Av^3=B，这里A=b/a，B=c/a；后面就用这个方程讨论了。
下面要做的是做个代换，令A=m^3，B=n^3，这是可以做到的；则方程的形式化为
v'+(mv)^3=n^3
这个形式的方程在m=0，或者n=0时都十分容易，所以下面讨论m和n都不为零时的情况
注意v'=dv/dx，令u=mv，t=mx；则得
du/dt+u^3=n^3
即dt=du/(n^3-u^3)
而n^3-u^3=(n-u)(n^2+nu+u^2)
所以1/(n^3-u^3)=1/[(n-u)(n^2+nu+u^2)]=(1/3n^2)/(n-u)+(u/3n^2+2/3n)/(n^2+nu+u^2)
从而
(3n^2)dt=1/(n-u)du+(u+2n)/(n^2+nu+u^2)du=-dln|u-n|+(1/2)dln|n^2+nu+u^2|+(3n/2)/(n^2+nu+u^2)du
而在du/(n^2+nu+u^2)=d(u+n/2)/[(u+n/2)^2+3n^2/4]中，令w=(u+n/2)/(√3n/2)，则有
du/(n^2+nu+u^2)=d(u+n/2)/[(u+n/2)^2+3n^2/4]=(2/√3n)dw/(1+w^2)
=(2/√3n)darctanw=(2/√3n)darctan[(u+n/2)/(√3n/2)]
带回可得
(3n^2)dt=dln|√(n^2+nu+u^2)/u-n|+√3darctan[(u+n/2)/(√3n/2)]
从而
(3n^2)(t-C)=ln|√(n^2+nu+u^2)/u-n|+√3arctan[(u+n/2)/(√3n/2)]
假如用F(u)表示ln|√(n^2+nu+u^2)/u-n|+√3arctan[(u+n/2)/(√3n/2)]，则
u=F^{-1}[(3n^2)(t-C)]
亦即
v=F^{-1}[(3n^2)(mx-C)]/m
有兴趣的话，可以再将m^3=b/a，n^3=c/a带回，最终就会完全解出原方程；不过问题就是
ln|√(n^2+nu+u^2)/u-n|+√3arctan[(u+n/2)/(√3n/2)]的反函数怎样求的问题，通常很难做，某些特殊情况下能够给出明显的表达式。