Question

已知a²+b²+c²=1，a（1/b+1/c）+b（1/a+1/c）+c（1/a+1/b）=-3

Answer 1

求
a+b+c
的值？
解：因为a（1/b+1/c）+b（1/a+1/c）+c（1/a+1/b）=-3
所以a，b,c均不为0（因为a,b,c可以做分母）,从而abc不等于0
因为a2+b2+c2=1
所以(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2=1+2(ab+bc+ca)
即(a+b+c)^2=1+2(ab+bc+ca)....(1)
设a+b+c=x，则由（1）得
x^2=1+2(ab+bc+ca)....(2)
即ab+bc+ca=(x^2-1)/2....(3)
所以1/a+1/b+1/c=(ab+bc+ca)/(abc)=(x^2-1)/(2abc）...（4）
所以a（1/b+1/c）+b（1/a+1/c）+c（1/a+1/b）

=(a+b)/c+(b+c)/a+(a+c)/b

=(a+b+c-1)/c+(b+c+a-a)/a+(a+c+b-b)/b

=(x-c)/c+(x-a)/a+(x-b)/b

=x/c+x/a+x/b-3

=(1/a+1/b+1/c)x-3

=[(x^2-1)/(2abc)]x-3
(根据（4））

=x(x^2-1)/(2abc)-3
又因为a（1/b+1/c）+b（1/a+1/c）+c（1/a+1/b）=-3
所以x(x^2-1)/(2abc)-3=-3

即x(x^2-1)/(2abc）=0
而abc不为0
所以x(x^2-1)=0

所以x=0或者x=1或者x=-1

即a+b+c=0或者a+b+c=1或者a+b+c=-1