Question

已知数列{an}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{bn}的前n项和为Sn，且有Sn=2bn-1（1）求{an}、{bn}的通项公

Answer 1

1.
设{an}公差为d。
a7-a3=4d=13-5=8
d=2
a1=a3-2d=5-4=1
an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1
数列{an}的通项公式为。
n=1时，s1=b1=2b1-1
b1=1
n≥2时
sn=2bn
-1
s(n-1)=2b(n-1)
-1
sn-s(n-1)=bn=2bn-1
-2b(n-1)+1=2bn-2b(n-1)
bn=2b(n-1)
bn/b(n-1)=2，为定值。
数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列。
bn=1×2^(n-1)=2^(n-1)
数列{bn}的通项公式为bn=2^(n-1)
2.
cn=anbn=(2n-1)×2^(n-1)=n×2ⁿ
-2^(n-1)
tn=c1+c2+...+cn
=1×2+2×2²+...+n×2ⁿ
-[2^0
+2+2²+...+2^(n-1)]
=1×2+2×2²+...+n×2ⁿ-(2ⁿ-1)/(2-1)
=1×2+2×2²+...+n×2ⁿ
-2ⁿ+1
令cn=1×2+2×2²+...+n×2ⁿ
则2cn=1×2²+2×2³+...+(n-1)×2ⁿ+n×2^(n+1)
cn-2cn=-cn=2+2²+...+2ⁿ
-n×2^(n+1)
cn=n×2^(n+1)-(2+2²+...+2ⁿ)=n×2^(n+1)-2×(2ⁿ-1)/(2-1)
=(n-1)×2^(n+1)
+2
tn=cn
-2ⁿ+1=(n-1)×2^(n+1)
+2
-2ⁿ+1
=(2n-2-1)×2ⁿ+3
=(2n-3)2ⁿ
+3。
3.
ansn=(2n-1)(2ⁿ-1)/(2-1)=(2n-1)2ⁿ
tn-ansn
=(2n-3)2ⁿ
+3-(2n-1)2ⁿ
=3-2^(n+1)
随n增大，2^(n+1)增大，3-2^(n+1)减小。
n=1时，tn-ansn=3-2²=3-4=-1<0
n≥2时，3-2^(n+1)恒<0
tn<ansn
好长啊，写得好累！