Question

n为正整数,求证根号下n的平方加1为无理数

Answer 1

假设√(n²+1)为
有理数
，不妨设√(n²+1)=p/q（p、q为
正整数
，p＞q＞1，p、q
互质
）
则n=√[(p-q)×(p+q)]/q
由于p、q互质，故(p-q)、(p+q)与q互质，即可知n不是整数，与命题矛盾，故假设不成立，原命题成立，即n为正整数,√(n²+1)为
无理数
。
一些细节Lz自己补充了...

Answer 2

假设√n²+1=k是有理数，n²+1=k²，因为n²+1是整数，所以k是整数
所以n²-k²=1，（n+k）（n-k）=1，nk无解，故不成立

Answer 3

（n-3)(n-2)(n-1)n+1
=n(n-3)(n-2)(n-1)+1
=(n^2-3n)(n^2-3n+2)+1
=(n^2-3n)^2+2(n^2-3n)+1
=(n^2-3n+1)^2.
由于n为整数，
所以根号（n-3)(n-2)(n-1)n+1表示的数一定是有理数.