Question

已知椭圆x2/a2+y2/b2的一个焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，且抛物线的准线被椭圆截得弦长

为根号2，倾斜角为45度的直线L过点F.
（1）求该椭圆的方程；
（2）设椭圆的另一个觉点为F1，问抛物线y2=4x上是否存在一点M，使得M与F1关于直线L对称，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）依题意得抛物线焦点准线x=-1，准线交椭圆于（-1，正负根号2/2）;
所以椭圆c=1，b2=a2-c2=a2-1；椭圆方程转化为x2/a2+y2/（a2-1）=1，将（-1，根号2/2）代入得a2=2或1/2（舍去），所以椭圆方程转化为x2/2+y2=1。
（2依题意得：y-0=x-1即x-y-1=0；另一焦点F1（-1,0），假设存在M（s，t），
则MF1垂直于直线L，所以（t-0）/（s+1）=-1
且MF1中点（s-1/2,t/2)在L上，即(s-1)/2-t/2-1=0
联立解得s=1，t=-2.符合抛物线方程，即这样的点M存在，坐标为（1，-2.）。