Question

为什么互为反函数的两函数图像能是同一条曲线呢?

Answer 1

你这句话不严谨。应该是“函数y=f(x)和反函数x=g(y)表示同一条曲线”。
关于反函数的一些基本概念这里不提了，就说图像。y=e^x和y=ln
x互为反函数，它们俩的图像关于y=x对称，你会问不是同一条曲线吗？确实这哥俩的图像关于y=x对称，不是同一条曲线，可是你知道它们俩为何互为反函数，又是怎么求出来的呢？
关于反函数的存在条件这里不讨论，假使给你y=e^x函数要你求其反函数，你会怎么求？首先考察定义域值域；其次改变对应关系把y=e^x化成x=ln
y；然后交换x，y位置y=ln
x；最后综合原来函数定义域值域确定反函数定义域值域。得出的结果如上所述，但是这并不是我们讨论的命题。
我们讨论的命题是函数y=f(x)和反函数x=g(y)，请注意反函数的自变量和因变量，所以我们这里讨论的是y=e^x和x=ln
y的关系，确实x=ln
y是y=e^x的反函数，只不过我们通常以x为自变量（即横轴），所以改变了它们的位置，但是不影响反函数的本质，因为函数的三个条件（定义域、值域、对应关系）不包含表示字母，换句话说我们可以任意改变函数的字母表示。
就这个命题来说，意义不大，但是涉及积分等与字母无关一些题中，了解这个命题还是很方便的。
这个命题就是在字母无关性上做点文章。