Question

设向量b能由向量组a1,…am线性表示，但不能由Ⅰ:a1,…am-1向量组线性表示，记向量组Ⅱ:a1,…,am-1,b。

证明向量am不能由向量组Ⅰ线性表示但能由向量组Ⅱ线性表示

Answer 1

证明：
因为向量b能由向量组a1,…am线性表示
设b=x1a1+x2a2+...+xmam
如果am可以由向量组Ⅰ线性表示
不妨设am=b1a1+...+bm-1am-1
则b=x1a1+...+xm-1am-1+xmam
=x1a1+...+xm-1am-1+b1a1+...+bm-1am-1
=(x1+ba)a1+...+(xm-1+bm-1)am-1
即b可以由a1,…am-1线性表出
这与已知条件矛盾，所以am不能由向量组Ⅰ线性表示

b=x1a1+x2a2+...+xmam
其中xm≠0，否则b=x1a1+x2a2+...+xm-1am-1+xmam=x1a1+x2a2+...+xm-1am-1
即b可由Ⅰ:a1,…am-1向量组线性表示，矛盾！
所以
xmam=b-(x1a1+x2a2+...+xm-1am-1)
从而
am=(1/xm)(b-(x1a1+x2a2+...+xm-1am-1))
即am可由向量组Ⅱ线性表示