Question

已知椭圆C:x05/a05+y05/b05=1(a>b>0)的离心率为√3/3,过右焦点F的直线L与C相交于A、B两点，当L的斜率为1时

坐标原点O到1的局里为√2/2.
（1）求a、b的值；
（2）C上是否存在点P，使得L绕F转到某一位置时，有OP（向量）=OA（向量）+OB（向量）成立？若存在，求出所有的P的坐标与L的方程；若不存在，说明理由。

Answer 1

（1）设F（C，0），当l的斜率为1时，其方程为x－y－c＝0，O到l的距离为c／√2，故c／√2＝√2／2，c＝1由离心率＝c／a＝√3／3，a＝√3，b＝√a²－c²＝√2
（2）若椭圆C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有→OP（向量OP的意思）＝→OA＋→OB成立，由（1）知椭圆c的方程为2х²＋3у²＝6，设A（x₁，у₁﹚，B（х₂，у₂）
①当l垂直于x轴时有→OA＋→OB＝（2，0），知椭圆C上不存在点P，使→OP＝→OA＋→OB成立。
②当l不垂直于x轴时，设l的方程为y＝k（x－1），代入已知椭圆方程得（2＋3k²）х²－6k²x＋3k²－6＝0，结合已知和韦达定理知P点坐标为（x₁＋x ₂，у₁＋у₂，满足椭圆方程，由y1＝k（xl－1）y2＝k（x2－1）带入椭圆方程，解得k²＝2
当k＝－√2时P＝（3／2，√2／2）直线l的方程为√2х＋у－√2＝0
当k＝√2时P＝（3／2，－√2／2）直线l的方程为√2х－у－√2＝0
综上所述，当P取（3／2，±√2／2）时可成立，直线方程为√2x±y－√2＝0
中间有省略步骤如果不清楚还请追问。
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Answer 2

坐标原点O到1的局里为√2/2？
这个局里是指距离吧，还有1是指直线L？

追问

是L不是1打错了！不好意思！指点到直线的距离！