Question

已知方程组x^2+y^2-2x=0,kx-y-k=0（x,y为未知数）的两个不同实数解为x=x1,y=y1;x=x2,y=y2.

求证：（x1-x2)^2+(y1-y2)^2是一个常数。

Answer 1

根据kx-y-k=0,得y=kx-k(1)
将（1）代入前面的二次式，得(k^2+1)x^2-2(k^2+1)x+k^2=0
根据韦达定理，因为x1，x2满足此方程，所以x1 + x2=2，x1 * x2=k ^ 2/( k ^ 2 + 1 )，都可以求出
同理，用带y的式子来表达x的话同样可以求出y1 * y2，y1 + y2
再根据完全平方展开式，(x1 - x2) ^ 2=(x1 + x2) ^ 2-4 x1 * x2可用带k的表达式表达出来
同样的，(y1-y2)^2也可以这么展开，用一个带k的式子来表达
两者相加，正好消去k，所以得出来(x1-x2)^2+(y1-y2)^2是个常数，结果应该是4（如果没算错）